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quarta-feira, 23 de janeiro de 2013

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Como se explica?

Uma bailarina gira em torno de seu eixo vertical1de rotação r com os braços estendidos e com velocidade angular ω1. Fechando os braços sua velocidade angular passa a ser ω2 maior do que ω1, isto é, a bailarina passa a girar com velocidade angular maior. Como se explica este fato?


A explicação está na conservação do momento angular. Vamos estudar este assunto. Acompanhe a teoria.

Momento angular ou momento da quantidade de movimento de um ponto material.
 
Momento angular ou momento da quantidade de movimento m.v de um ponto material P, em relação a um ponto O, é a grandeza vetorial L que possui as seguintes características:


Módulo: L = mvd, onde d é a distância do ponto O à reta s, suporte da velocidade v do ponto material. 


Direção: da reta perpendicular ao plano α definido pela reta s e pelo ponto O.
 

Sentido: dado pela regra da mão direita, conforme indica a figura abaixo

O dedo polegar indica o sentido de L, enquanto os demais dedos são semidobrados no sentido de r para mv.

Momento angular de um ponto P que realiza movimento circular uniforme

Considere um ponto material P que realiza um movimento circular uniforme de centro O, com velocidade de módulo v e velocidade angular
ω.


Vamos calcular o módulo do momento angular L, em relação ao centro O:

De L = mvd e sendo d = R e v = ωR, vem:
L = m.ω.R.R => L = m.R2.ω 

Vetorialmente, sendo ω a velocidade de rotação cujo sentido é o mesmo de L e cujo módulo é igual à velocidade angular ω, temos:

L = m.R2.ω

A grandeza escalar m.R2 é indicada pela letra I e recebe o nome de momento de inércia do ponto material P em relação ao ponto O.

Assim, temos:


L = I.ω

No SI a unidade de momento de inércia é kg.m2

Momento angular de um corpo extenso em rotação uniforme em torno de um eixo fixo

Considere um corpo em rotação
i uniforme, em torno de um eixo fixo.

Para cada ponto Pi, de massa mi e a uma distância ri do eixo de rotação, podemos escrever: Li = miri2ω, onde ω é o vetor de rotação, suposto constante.


O momento angular total L do corpo é dado por:


 Mas:










é o momento de inércia  do corpo em relação ao eixo de rotação. Logo:



O momento de inércia I depende da massa do corpo e de como ela se distribui em relação ao eixo de rotação. O momento de inércia mede a resistência que o corpo opõe à rotação. De fato, de L = I.ω, concluímos que para o mesmo L, quanto maior for I menor é o ω.

Conservação do momento angular

Se o momento (torque) das forças que atuam num corpo em rotação é nulo, então o momento angular permanece constante.


Nestas condições, resulta em módulo:

L = Iω = constante
x
Se o corpo for deformável, sendo L = I.ω constante, vem que se I aumenta ω diminui e se I diminui, ω aumenta.
É o caso da bailarina. Fechando os braços, o momento de inércia diminui de   para I1 para I2 (I2 < I1) e sua velocidade angular varia de ω1 para ω2.
Como
I1ω1 = I2ω2, resulta ω2 > ω1.

(Fonte: www.moderna.com.br/fundamentos)
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