segunda-feira, 25 de abril de 2016

Cursos do Blog - Mecânica


12ª aula
Vetores (II)

Borges e Nicolau

Lembrete:

A grandeza escalar fica perfeitamente definida quando dela se conhecem o valor numérico e a correspondente unidade (exemplos: volume, massa, temperatura, energia).
A grandeza vetorial, além do valor numérico e da unidade, necessita de direção e sentido para ser definida (exemplos: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento).

Vetor

É um ente matemático caracterizado por módulo, direção e sentido.

Produto de um número real por um vetor

Clique para ampliar

Componentes de um vetor

Clique para ampliar


Animações:
Adição vetorial - Clique aqui
Vetor oposto / Subtração vetorial - Clique aqui
Produto de um número real por um vetor - Clique aqui
Componentes de um vetor - Clique aqui

Exercícios básicos
Notação vetorial em negrito.

Exercício 1:
É dado o vetor v. Represente os vetores 2v e -v

Clique para ampliar

Resolução: clique aqui

Exercício 2:
No diagrama i e j são vetores de módulos unitários. Determine as expressões dos vetores a, b e c em função de i e j.

Clique para ampliar


Resolução: clique aqui

Exercício 3:
No estudo da Física muitas vezes precisamos efetuar o produto de um número real por um vetor. É o caso do princípio fundamental da Dinâmica F = m.a, da definição de quantidade de movimento Q = m.v, da definição de impulso de uma força constante que age numa partícula durante um intervalo de tempo dada por I = F.Δt e da força eletrostática F = q.E.

Neste último caso, considere o vetor campo elétrico E, representado abaixo e cujo módulo é igual a 105 N/C. Represente as forças eletrostáticas
FA e FB que agem nas partículas A e B, submetidas à ação do vetor campo elétrico E,  nos casos

a) A carga elétrica de A é q = +2 μC
b) A carga elétrica de B é q = -3 μC

Clique para ampliar

Resolução: clique aqui 

Exercício 4:
Seu Joaquim empurra um carrinho, por meio de uma barra de ferro, aplicando uma força F, de módulo F = 100 N, na direção da barra. Qual é o módulo da componente  da força F na direção perpendicular ao solo?
Dados: sen θ = 0,6; cos θ = 0,8.

Clique para ampliar

Resolução: clique aqui

Exercício 5:
Os vetores a e b, de módulos iguais a 10 unidades (10 u), estão representados na figura. Determine as componentes destes vetores em relação aos eixos Ox e Oy e as componentes do vetor soma (s = a + b).

Dados: sen 30º = 0,50; cos 30º = 0,87


 Clique para ampliar

Resolução: clique aqui

Exercício 6:
Numa partícula agem três forças F1, F2 e F3, de mesmo módulo igual a 10 N.

a) Determine as componentes destas forças em relação aos eixos Ox e Oy.
b) As componentes da força
F4 capaz de equilibrar o sistema constituído pelas três forças F1, F2 e F3.

Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8
x
 Clique para ampliar

Resolução: clique aqui
 
Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(UFU-MG)
A grandeza escalar é:

a) Impulso
b) Campo elétrico
c) aceleração  da gravidade
d) trabalho


Resolução: clique aqui

Revisão/Ex 2:
(FSM-SP)
Assinale a alternativa errada. Dado o número real k e o vetor v então:


a) o vetor w = k.v tem o mesmo sentido de v, se k > 0.
b) o vetor
w = k.v tem sentido contrário de v, se k < 0.
c) a direção de
w = k.v é sempre igual à direção de v qualquer que seja o valor de k.
d) se a direção de
w = k.v é diferente da direção de v, então k < 0.

Resolução: clique aqui

Revisão/Ex 3:
(ACAFE-SC)
O vetor A tem módulo igual a 40 unidades e forma um ângulo de 60º com o eixo x, no 2º quadrante, conforme é mostrado na figura abaixo.



Os componentes do vetor A no eixo x e no eixo y, respectivamente, são:

A) -20
√3 e 20
B) 20 e 20
3
C) -20 e 20
3
D) 20
3 e -20
E) -20
3 e -20 

Dados: sen 60° = 3/2 e cos 60° = 1/2

Resolução: clique aqui

Revisão/Ex 4:
(UNIFESP-SP)
Na figura são dados os vetores a, b e c.



Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor d = a - b + c tem módulo

a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo.
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d)
2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido horário.
e) 2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido anti-horário.


Resolução: clique aqui

Revisão/Ex 5:
(UFLA-MG)
Os vetores a, b e c representados abaixo têm resultante nula.


                   
Sabendo-se que o módulo do vetor b é igual a
6, podemos afirmar que os módulos de a e c valem, respectivamente:

a) 3 e (32 + 6)/2
b) 6/2 e 23
c) 32 e 3
d) 6 e 3
e) 3 e 32

Dados:
sen 60° = 3/2 e cos 60° = 1/2
sen 45° = cos 45° = 2/2


Resolução: clique aqui
d
Desafio: 


Os vetores a, b e c têm módulos iguais a 10 unidades.
Determine as componentes Rx e Ry do vetor soma R e calcule, a seguir o módulo do vetor soma R = a + b + c.
Dados: os vetores a e c são perpendiculares e sen37° = 0,6.


A resolução será publicada na próxima segunda-feira.  

Resolução do desafio anterior:

Dois vetores, a e b, têm mesmo módulo igual a 20 unidades.

a) Quais os valores que o módulo do vetor soma pode assumir?
b) Qual o ângulo entre os vetores, sabendo-se que o vetor soma tem também módulo igual a 20 unidades?


a) O máximo valor do módulo do vetor soma vs corresponde a a e b na mesma direção e no mesmo sentido.

Assim, vs = a + b = (20+20) unidades = 40 unidades. 

O mínimo valor do módulo do vetor soma
vs corresponde a a e b na mesma direção e em sentidos opostos.

Assim, vs = a - b = (20-20) unidades = 0 unidades.

Portanto, vs varia de 0 a 40 unidades: 0 ≤ vs ≤ 40 unidades.


b) Seja θ o ângulo entre os vetores a e b (figura 1).


Na figura 2 obtemos o vetor soma vs e observamos que o triângulo formado é equilátero.

Na figura 3, realçamos que o ângulo θ entre os vetores a e b é de 120°: θ = 120°.


Respostas: a) 0 ≤ vs ≤ 40; b) 120°

Um comentário:

  1. Olá, professor Nicolau.
    Eu não entendi porque o ângulo no exercício acima (desafio) é 120º.
    Se a e b = 20 unidades e o vetor soma tbm é 20 unidades. Att.

    ResponderExcluir