segunda-feira, 20 de novembro de 2017

Cursos do Blog - Mecânica


36ª aula
Gravitação
x
Borges e Nicolau

Johannes Kepler

Johannes Kepler (1571-1630), notável astrônomo e matemático alemão, estabeleceu a forma como os planetas se movem em torno do Sol. Oito são os planetas de nosso sistema solar, na seguinte ordem de distância ao Sol: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.

Kepler foi discípulo do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546–1601), tendo herdado precisas observações de seu mestre. Depois de muito estudo enunciou as três leis do movimento planetário, conhecidas hoje como Leis de Kepler.

Leis de Kepler

Primeira lei de Kepler ou lei das órbitas

As órbitas descritas pelos planetas são elipses, com o Sol ocupando um dos focos.

As órbitas descritas pelos planetas são elipses
 
Segunda lei de Kepler ou lei das áreas

O segmento que une o centro do Sol ao centro do planeta descreve áreas proporcionais aos intervalos de tempo de percurso.

Assim, seja A a área varrida por um planeta num intervalo de tempo Δt.


Podemos escrever, de acordo com a segunda lei de Kepler:

A = K.Δt

K é uma constante de proporcionalidade que depende do planeta.

Observações:

• A relação A/Δt = K recebe o nome de velocidade areolar, sendo uma constante para cada planeta do sistema solar.
• A velocidade de translação de um planeta ao redor do Sol não é constante, sendo máxima quando o planeta está mais próximo do Sol (periélio) e mínima, quando mais distante (afélio).

As áreas varridas são proporcionais aos intervalos de tempo de percurso

Terceira lei de Kepler ou lei dos períodos

O quadrado do período de revolução, de cada planeta ao redor do Sol, é diretamente proporcional ao cubo do semi eixo  maior da correspondente trajetória.

Assim, seja T o período de revolução e R o semi eixo maior da elipse.


Podemos escrever, de acordo com a terceira lei de Kepler:

T2/R3 = constante

Esta constante depende da massa do Sol e da massa do planeta. Como a massa do planeta é muito menor do que a massa do Sol, considera-se que a constante depende somente da massa do Sol, sendo, portanto, a mesma para todos os planetas.


Deste modo, para a Terra e Marte, por exemplo, podemos escrever:

T2Terra/R3Terra = T2Marte/R3Marte

Observações:

• Se a órbita de um planeta for considerada circular, o semi eixo maior é o próprio raio da circunferência que constitui a órbita.
• As leis de Kepler são válidas de um modo geral para quaisquer corpos que gravitem em torno de um outro de massa muito maior.

Quanto maior o semi eixo maior da trajetória, maior é o período do planeta, isto é, maior é o seu ano. O período de Marte é de aproximadamente 1,881 ano terrestre. Já o período de Netuno é de 165,951 anos terrestres.

(Imagens: painéis do Museu Aeroespacial de Washington-DC fotografados por Nicolau Gilberto Ferraro.)

Veja a Leis de Kepler em animações:

Primeira lei de Kepler 
Segunda lei de Kepler 
Terceira lei de Kepler

Exercícios básicos

Exercício 1:
Um planeta descreve em torno do Sol a trajetória indicada na figura:


a) Em qual dos pontos indicados a velocidade de translação do planeta é máxima? Qual é o nome dado a este ponto?
b) Em qual dos pontos indicados a velocidade de translação do planeta é mínima? Qual é o nome dado a este ponto?
c) O movimento do planeta de A para B é acelerado ou retardado? 


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Exercício 2:
A figura representa a órbita da Terra em torno do Sol. A área A1 é varrida em 2 meses e a área A2 em 5 meses. Qual é a relação entre as áreas A1/A2? 


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Exercício 3:
Um planeta descreve uma órbita circular de raio R. O período de translação do planeta é T. Calcule em função de R e T a velocidade areolar do planeta.

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Exercício 4:
O raio da órbita de Júpiter em torno do Sol é 5,2 vezes o raio da Terra. Determine o ano de Júpiter, isto é, o período da translação de Júpiter em torno do Sol, expresso em anos terrestres. 

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Exercício 5:
Dois satélites da Terra descrevem órbitas circulares de raios R1 e R2 e de períodos
T1 e T2. Sendo R1/R2 = 4, qual é a relação T1/T2? 

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1:
(UFMA)
Ao ser examinado sobre o movimento dos planetas, um aluno escreveu os seguintes enunciados para as leis de Kepler.

I. Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.
II. O segmento de reta que une um planeta ao Sol "varre" áreas proporcionais aos intervalos de tempo dos percursos.
III. Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios médios das órbitas.

Dos enunciados acima está(ão) correto(s):

a) todos.
b) nenhum.
c) somente I.
d) somente II.
e) somente III. 

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Revisão/Ex 2:
(UFPI)
Um planeta gira, em órbita elíptica, em torno do Sol. Considere as afirmações:

I. Na posição A, a quantidade de movimento linear do planeta tem módulo máximo.
II. Na posição C, a energia potencial do sistema (Sol + planeta) é máxima.
III. Na posição B, a energia total do sistema (Sol + planeta) tem um valor intermediário, situado entre os correspondentes valores em A e C.



Assinale a alternativa correta:

a) I e III são verdadeiras.
b) I e II são verdadeiras.
c) II e III são verdadeiras.
d) apenas II é verdadeira.
e) apenas I é verdadeira.

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Revisão/Ex 3:
(Olimpíada Brasileira de Física)
Considere que um planeta de raio R tem dois satélites A e B que descrevem órbitas circulares, como ilustrado na figura a seguir.



Desprezando a força de atração gravitacional entre os satélites, qual é o valor da razão TB/TA entre os períodos de revolução dos satélites em torno do planeta?

a) (3/2)2/3
b) (2/3)2/3
c) (5/2)3/2
d) 23/2
e) 1 

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Revisão/Ex 4:
(ITA-SP)
Estima-se que, em alguns bilhões de anos, o raio médio da órbita da Lua estará 50% maior do que é atualmente. Naquela época, seu período, que hoje é de 27,3 dias, seria:

a) 14,1 dias.
b) 18,2 dias. 
c) 27,3 dias.
d) 41,0 dias.
e) 50,2 dias.

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Revisão/Ex 5:
(UNICAMP)
A figura abaixo representa exageradamente a trajetória de um planeta em torno do Sol. O sentido do percurso é indicado pela seta. O ponto V marca o início do verão no hemisfério sul e o ponto I marca o início do inverno. O ponto P indica a maior aproximação do planeta ao Sol, o ponto A marca o maior afastamento. Os pontos V, I e o Sol são colineares, bem como os pontos P, A e o Sol. 


           
a) Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxima? Em que ponto essa velocidade é mínima? Justifique sua resposta.
b) Segundo Kepler, a linha que liga o planeta ao Sol percorre áreas iguais em tempos iguais. Coloque em ordem crescente os tempos necessários para realizar os seguintes percursos: VPI, PIA, IAV, AVP.

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n
Desafio:

Admita a órbita da Lua, em torno da Terra, circular, de raio R (figura A) e com período de translação de 27,35 dias.


Imagine que a Lua parasse em sua órbita e caísse na Terra depois de um intervalo de tempo Δt. Para calcular este intervalo de tempo use a seguinte estratégia: considere que a velocidade da Lua reduzisse a um valor próximo de zero. Nestas condições, a Lua passaria a descrever uma órbita elíptica de eixo maior R e de excentricidade próxima de 1, terminando por colidir catastroficamente com a Terra (figura B). Adote 2 = 1,41



Nestas condições, o valor de
Δt é aproximadamente igual a:

a) 19,28 dias
b) 9,64 dias
c) 4,82 dias
d) 2,41 dias
e) 1,20 dias

A resolução será publicada na próxima segunda-feira.

Resolução do desafio anterior:


Uma pequena esfera A de massa 3m é lançada com velocidade de módulo vA e colide elasticamente com outra esfera B, de massa m, em repouso na extremidade de uma mesa de 0,80 m de altura. Considere o choque unidimensional. Após a colisão a esfera B atinge um ponto do solo situado a 0,80 m da vertical onde ocorre o choque. Qual é o módulo da velocidade vA com que a esfera A é lançada? Dado: g = 10 m/s2.


Resolução:


Qantes = Qdepois
3mvA = 3mv'A + mv0
3vA = 3v'A + v0 (1)

Coeficiente de restituição

e = 1 = (v0-v'A)/vA => vA = v0 - v'A (2)

(1) + 3.(2):

(3vA = 3v'A + v0) + (3vA = 3v0 - 3v'A) => 6vA = 4v0 (3)

Cálculo de v0


Lançamento vertical

y = (1/2).g.t2
0,80 = (1/2).10.tq2
tq = 0,40 s (tempo de queda)

Lançamento horizontal

x = v0.t
0,80 = v0.tq
0,80 = v0.0,40
v0 = 2,0 m/s

De (3):

6vA = 4v0
6vA = 4.2,0 => vA = 8,0/6,0 => vA = 4,0/3,0
vA ≅ 1,3 m/s

Resposta: 1,3 m/s